Berkovich 空间、多面体、骨架与模型论

设 $X$ 为非阿基米德完备域 $k$ 上的解析空间，$(f_1,..., f_n)$ 为 $X$ 上的一族可逆函数。设 $\phi$ 为由 $f_i$ 诱导的态射 $X\to G_m^n$，$t$ 为由 $f_i$ 的范数诱导的映射 $X\to (R^*_+)^n$。回顾两个结果：1) 紧集 $t(X)$ 是 $R$-向量空间 $(R^*_+)^n$ 中的一个多面体（此处使用乘法记号）；这在局部代数情形下由 Berkovich 得出，并由作者推广至一般情形。2) 若此外 $X$ 为 Hausdorff 且 $n$ 维，则 $G_m^n$ 的骨架 $S_n$ 在 $\phi$ 下的原像具有分段线性结构，使得 $\phi^{-1}(S_n)\to S_n$ 成为分段浸入；这由作者得出。在本文中，我们改进了结果 1) 和 2)，并给出了两者的新证明。我们的证明基于代数闭且非平凡赋值域的模型论。简要说明我们对 1) 和 2) 的改进之处：关于 1)，我们还证明了若 $x\in X$，则存在 $x$ 的紧解析邻域 $U$，使得对于 $X$ 中 $x$ 的任意紧解析邻域 $V$，多面体芽 $(t(U),t(x))$ 与 $(t(V),t(x))$ 重合。关于 2)，我们证明了 $\phi^{-1}(S_n)$ 上的分段线性结构是规范的，即不依赖于将其写为骨架原像时所选择的映射；从而回答了 Temkin 向我们提出的问题。此外，我们证明了骨架的原像在有限可分基域扩张后“稳定”，并且若 $\phi_1,..., \phi_m$ 是从 $X\to G_m^n$ 的有限多个态射，则并集 $\bigcup \phi_j(S_n)$ 也继承了一个规范的分段线性结构。