小Biot数下浸没问题的简化模型误差估计

我们考虑浸没问题：一个均匀温度为$T_{\text i}$的实心体放入由远场温度$T_\infty$和空间均匀时间无关热传递系数描述的环境中。我们允许材料组成具有异质性：密度、比热和热导率随空间变化。数学上，该问题由带Robin边界条件的热方程描述。关键参数是Biot数——无量纲的热传递（Robin）系数；我们考虑Biot数趋于小的情形。我们引入对若干感兴趣量的一阶和二阶渐近近似（相对于Biot数），其中最显著的是作为时间函数的空间域平均温度的一阶近似，即标准工程“lumped”模型。我们随后提供一阶和二阶近似的渐近误差估计（针对小Biot数），以及一阶近似的备选严格界限（适用于所有Biot数）。伴随的数值解验证了小Biot数下误差估计的有效性。二阶近似和一阶、二阶误差估计依赖于若干与椭圆型偏微分方程相关的函数输出；后者源于在Biot数趋于小的极限下，对热方程特征问题的Biot灵敏度分析。最重要的是$\phi$——唯一用于一阶误差估计的函数输出；$\phi$可简单地解释为导热长度尺度。我们研究了$\phi$随域和物性的依赖性：最显著的是，我们刻画了标准lumped模型误差准则——Biot数（基于体积到面积长度尺度）小——不足的空间域。