Vlasov-Maxwell 系统的 Runge-Kutta 间断 Galerkin 方法的误差估计

本文建立了求解 Vlasov-Maxwell 系统的 Runge-Kutta 间断 Galerkin (RKDG) 方法的误差分析。该非线性双曲系统描述了单组分无碰撞等离子体粒子在自洽电磁场下的时间演化，并模拟了实验室和天体物理等离子体中的许多现象。该方法在时间上采用三阶 TVD Runge-Kutta 离散化，在相空间域上采用任意阶的迎风间断 Galerkin 离散化。假设精确解具有足够的正则性，在 CFL 条件 $\tau /h \leq \gamma$ 下，任意给定时刻 $T$ 的粒子数密度函数以及电场和磁场的 $L^2$ 误差以 $C h^{k+\frac{1}{2}}+C\tau^3$ 为界。此处 $k$ 是相空间离散化中使用的多项式次数，满足 $k \geq \left \lceil \frac{d_x + 1}{2} \right \rceil$（大于或等于 $\frac{d_x+1}{2}$ 的最小整数，其中 $d_x$ 为空间域的维数），$\tau$ 是时间步长，$h$ 是相空间中的最大网格尺寸。$C$ 和 $\gamma$ 均为独立于 $h$ 和 $\tau$ 的正常数，它们可能依赖于多项式次数 $k$、时间 $T$、相域的大小、某些网格参数以及精确解的某些 Sobolev 范数。该分析可扩展至具有其他数值通量的 RKDG 方法，以及求解相对论性 Vlasov-Maxwell 方程的 RKDG 方法。