小能量旋转双分量 Camassa–Holm 系统保不变差分格式的误差估计

近来提出了一种旋转双分量 Camassa–Holm（R2CH）系统，用于描述重力作用下浅水波的运动。这是一个高度非线性且强耦合的偏微分方程组。设计数值格式的一个关键问题是在离散层面上尽可能多地保持不变量。本文提出一种可证明的隐式非线性差分格式，其至少保持三个离散守恒不变量：能量、质量和动量，并借助 Browder 定理证明差分解的存在性。误差分析基于差分格式中双线性算子的新颖且精细的估计。通过巧妙运用能量法，我们证明该差分格式不仅在旋转参数趋于零时无条件收敛，而且在旋转参数非零的小能量情形下无需任何步长比限制即可收敛。两种情形（旋转参数为零或非零）下，速度在 $L^\infty$ 范数下与表面高程在 $L^2$ 范数下的收敛阶均为 $O(\tau^2 + h^2)$，其中 $\tau$ 表示时间步长，$h$ 表示空间步长。理论预测通过一个恰当设计的两层迭代格式得到验证。与文献中现有数值方法相比，所提方法在更大区域上的长时间模拟以及对光滑与非光滑初值的更优分辨率方面均展现出有效性。