与 MASAS 自同态相关的遍历扩张与 Hilbert 模

我们证明，概率测度空间 $(X,\mu)$ 上的一类遍历变换可扩张为 $\mathcal{B}(L^2(X,\mu))$ 的一个表示，该表示既由一个 Cuntz 族实现，又是遍历的。此类包含若干已知例子，本文将其统一处理。在分析此类 Cuntz 族的存在性与唯一性过程中，我们给出了若干具有独立意义的结果。最值得注意的是，我们证明了 $X$ 对于 $N$ 对 1 局部同胚的一个分解，该分解与 Hilbert 模的标准正交基相关联。我们指出，Cuntz 代数 $\mathcal{O}_N$ 的平凡 Hilbert 模没有良定义的 Hilbert 模基（而且它与模和 $\sum_{i=1}^n \mathcal{O}_N$ 对于无穷多个 $n \in \mathbb{N}$ 是酉等价的）。