等变 Weiss 演算与 Stiefel 流形的环路空间

在 20 世纪 80 年代中期，Steve Mitchell 和 Bill Richter 对正交和酉映射 $V \to V \oplus W$ 的 Stiefel 流形 $O(V; W)$ 和 $U(V; W)$ 进行了滤过，使其稳定地分裂为定义在 Grassmannians 上的 Thom 空间的楔和。此外，他们对 $SU(V)$ 的环路空间也产生了类似的滤过和分裂。几年后，Michael Crabb 明确了 Stiefel 流形分裂的等变性，并猜想环路空间的分裂也是等变的。然而，长期以来人们一直不知道实 Stiefel 流形的环路空间（甚至是 $\Omega SO_n$ 这种特殊情况）是否具有类似的分裂。在此，受 Greg Arone 利用 Weiss 正交演算推广 Mitchell 和 Richter 结果的启发，我们利用 Weiss 演算的等变版本获得了 $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$-等变分裂定理。特别地，我们表明当 $dim(W) > 0$ 时，$\Omega U(V; W)$ 具有等变稳定分裂。通过考虑该环路空间的（几何）不动点，作为推论，我们还获得了从 $I$ 到 $O(V_{\mathbb{R}}; W_{\mathbb{R}})$ 中一点的路径空间 $\Omega(U(V; W),O(V_{\mathbb{R}}; W_{\mathbb{R}}))$ 的稳定分裂。特别地，通过设定 $W = \mathbb{C}$，这给了我们 $\Omega(SU_n / SO_n)$ 的稳定分裂。