$C^*$-交叉积的等变（余）模核性

我们定义了模核性（module nuclearity）概念的等变与等协变版本。更准确地说，对于离散群 $\Gamma$ 和 $\Gamma$-C$^*$-代数 $\mathcal A$ 上的算子 $\mathcal A$-$\Gamma$-（余）模 $\mathcal B$、$\mathcal E$，我们定义了 $\mathcal B$ 的 $\mathcal E$-$\Gamma$-核性，作为 $\mathcal E$-核性概念的等变版本，其中要求 $\mathcal B$ 上的恒等映射近似地通过 $\mathcal E$ 上的矩阵代数进行分解，且其模结构同时来源于 $\mathcal E$ 的原始模结构和 $\mathcal E$ 上的 $\Gamma$-作用。对于 $\Gamma$ 的平凡作用，这被证明可简化为由第一作者引入并研究的模核性概念。作为一个具体例子，对于在一个有单位元的 C$^*$-代数 $\mathcal A$ 上具有顺从作用的离散群 $\Gamma$，我们证明了约化交叉积 $\mathcal A\rtimes_{r} \Gamma$ 是 $\mathcal A$-$\Gamma$-核的。反之，如果 $\mathcal A$ 是具有 $\Gamma$-不变态 $\rho$ 的核 C$^*$-代数，且 $\mathcal A\rtimes_{r} \Gamma$ 是 $\mathcal A$-$\Gamma$-核的，则我们推导出 $\Gamma$ 是顺从的。我们证明了当 $\mathcal A\rtimes_{r} \Gamma$ 是 $\mathcal A$-$\Gamma$-核的且 $\mathcal A$ 具有完全有界逼近性质（相应地，是精确的）时，$\mathcal A\rtimes_{r} \Gamma$ 也具有该性质。我们将 $\mathcal A\rtimes_{r} \Gamma$ 视为 $\mathcal A$-$\Gamma$-余模时，证明了类似的结果。