关于一类通用 $L$-函数的黎曼假设等价判据

1916年，Riesz 给出了黎曼假设（RH）的一个等价判据。灵感来源于Riesz的判据，Hardy 和 Littlewood 表明，RH等价于以下界：\n\begin{align*} P_1(x):= \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} \exp\left({-\frac{x}{n^2}}\right) = O_{\epsilon}\left( x^{-\frac{1}{4}+ \epsilon } \right), \quad \mathrm{as}\,\, x \rightarrow \infty. \end{align*} 最近，作者们将上述界推广至Dirichlet $L$-函数的广义黎曼假设，并给出一类“良好”$L$-函数的猜想。本文解决了该猜想。特别地，我们给出了与黎曼假设相关的判据，用于由 cusp 形式关联的 $L$-函数。我们还获得了 $\zeta(s)$黎曼假设的全新形式的等价判据。此外，我们推广了Ramanujan、Hardy 和 Littlewood 对于Chandrasekharan-Narasimhan 类的 $L$-函数的恒等式。