无环定向上的等价关系

循环群和二面体群可作用于无向图 Y 的无环定向集合 Acyc(Y)，从而分别产生等价关系 ~kappa 和 ~delta。这两种作用及其对应的等价类与 Coxeter 群、序列动力系统、芯片博弈 (chip-firing game) 以及箭图表示背景下出现的组合问题密切相关。在本文中，我们构造了顶点集为 Acyc(Y) 的图 C(Y) 和 D(Y)，其连通分支编码了这些等价类。这些图的连通分支数分别记为 kappa(Y) 和 delta(Y)。我们刻画了 C(Y) 和 D(Y) 的结构，展示了如何从 kappa(Y) 推导 delta(Y)，并给出了 kappa(Y) 的计数结果。此外，我们展示了如何为每个 kappa-等价类关联一个偏序集结构，并刻画了这些偏序集。这使我们能够建立从 Acyc(Y)/~kappa 到 Acyc(Y')/~kappa 与 Acyc(Y'')/~kappa 之并的双射，其中 Y' 和 Y'' 分别表示对 Y 中某圈边进行删边和缩边操作，进而表明 kappa(Y) 可通过在 (1,0) 处求值 Tutte 多项式得到。