偶尔图的顶点连通性

设 $G$ 为有限图，$\kappa(G)$ 为 $G$ 的顶点连通性。若 $G$ 的每个顶点都不与 $G$ 的其他所有顶点相邻，则将 $G$ 称为偶尔图（chordal$^*$ graph）。利用交换代数中的 syzygy 理论，可证明：每个 $n$ 顶点的偶尔图 $G$ 满足 $\kappa(G) \leq (n - 1) - \lceil2\sqrt{n}-2\, \rceil$。此外，给定整数 $0 \leq \kappa \leq (n - 1) - \lceil2\sqrt{n}-2\, \rceil$，可构造一个 $n$ 顶的偶尔图 $G$ 使得 $\kappa(G) = \kappa$。