顶点算子代数上的等价关系 I：亏格

在这一系列两篇论文的第一篇中，我们通过将偶格子的亏格概念推广到顶点算子代数（或二维手性代数）的设置中，研究了两种不同的等价关系。体亏格等价关系在arXiv:math/0209333中定义，根据模张量范畴和中心电荷对（适当正则的）顶点算子代数进行分组。双曲亏格arXiv:2004.01441测试在张量一个双曲平面顶点代数后的同构性。从物理角度看，两个有理手性代数如果位于同一个2+1维拓扑量子场论的边界上，则属于同一个体亏格；如果在张量一个非手性紧玻色子后可以通过电流-电流精确边际形变相关联，则属于同一个双曲亏格。作为一个主要结果，我们证明了双曲亏格定义了比体亏格更细的等价关系。这基于双曲亏格的一个新等价刻画，使用顶点算子代数内部的最大格子和它的交换子（或余集）。我们讨论了这些构造对有理共形场论分类的影响。特别是，我们提出了一个（部分地）分类 $c=32$ 全纯顶点算子代数（或手性共形场论）的方案，并通过亏格公式的推广获得了更高中心电荷下顶点算子代数数量的新下界。最后，我们猜想了一个Siegel-Weil恒等式，用于计算由任意双曲亏格定义的手性共形场论集合的"平均"环面配分函数，并从物理上将其解释为无序平均全息。