矩阵乘积压力函数的平衡态

设 $\{M_i\}_{i=1}^\ell$ 是一个非平凡的 $d\times d$ 复矩阵族，其含义是：对任意 $n\in \N$，存在 $i_1... i_n\in \{1,..., \ell\}^n$ 使得 $M_{i_1}... M_{i_n}\neq {\bf 0}$。令 $P \colon (0,\infty)\to \R$ 为 $\{M_i\}_{i=1}^\ell$ 的压力函数。我们证明：对每个 $q>0$，$P$ 至多存在 $d$ 个遍历的 $q$-平衡态，且每个平衡态都满足某种 Gibbs 性质。