吉布斯测度分布函数的Hölder指数相等性

逐点Hölder指数描述了函数在某点附近的正则性程度。对于函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，数 $\alpha>0$ 和点 $t_0\in\mathbb{R}$，记 $f\in C^\alpha(t_0)$ 若存在常数 $C$ 和次数小于 $\alpha$ 的多项式 $P$ 使得 $|f(t)-P(t-t_0)|\leq C|t-t_0|^\alpha$ 对所有 $t\in\mathbb{R}$ 成立。$f$ 在 $t_0$ 处的逐点Hölder指数为数 $\alpha_f(t_0):=\sup\{\alpha>0: f\in C^\alpha(t_0)\}$。一个更简单的量，在数学文献中也常被称为逐点Hölder指数，是数 $\tilde{\alpha}_f(t_0):=\sup\{\alpha>0: f\in \tilde{C}^\alpha(t_0)\}$，其中 $f\in \tilde{C}^\alpha(t_0)$ 意味着存在常数 $C>0$ 使得 $|f(t)-f(t_0)|\leq C|t-t_0|^\alpha$ 对所有 $t\in\mathbb{R}$ 成立。显然 $\alpha_f(t)\geq \tilde{\alpha}_f(t)$，但严格不等式是可能的且实际上很常见。在本文中，我们考虑当 $f=F_\mu$ 是与任意Hölder连续势函数 $\psi$ 在自相似集上关联的吉布斯测度 $\mu$ 的分布函数的情形，并证明在 $\psi$ 满足非常温和的条件下，对所有 $t$ 有 $\alpha_f(t)=\tilde{\alpha}_f(t)$。作为推论，我们推导出 $f$ 的逐点Hölder谱满足多重分形形式体系。作为应用，我们推导出区间上扩张的分段 $\mathcal{C}^{1+\epsilon}$ 映射之间共轭映射的逐点Hölder谱。