零温下的 Zeta 测度与热力学形式体系

我们研究以下问题：给定定义在 Bernoulli 空间上的实 Hölder 势 $f$ 及其平衡态 $\mu_f$，已知这个移位不变概率可以由与某些 zeta 函数相关的周期轨道上的概率弱逼近。给定一个 Hölder 函数 $f>0$ 和一个值 $s$ 满足 $0<s<1$，我们可以关联一个移位不变概率 $\nu_{s}$，使得对每个连续函数 $k$ 有 $$\int k d\nu_{s}=\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{x\in Fix_{n}}e^{sf^{n}(x)-nP(f)}\frac{k^{n}(x)}{n}}{\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{x\in Fix_{n}}e^{sf^{n}(x)-nP(f)}},$$ 其中 $P(f)$ 是 $f$ 的压力，$Fix_n$ 是 $\sigma^n(x)=x$ 的解集，对任意 $n\in \mathbb{N}$，且 $f^{n}(x) = f(x) + f(\sigma(x)) + f(\sigma^2(x))+... + f(\sigma^{n-1} (x)).$ 我们称 $\nu_{s}$ 为 $f$ 和 $s$ 的 zeta 概率。已知当 $s \to 1$ 时，$\nu_s \to \mu_{f}$。对每个值 $c$，我们考虑势 $c f$ 及其对应的平衡态 $\mu_{c f}$。当 $c$ 趋于无穷且 $s$ 趋于 1 时，$\nu_{s}$ 会怎样？这个问题与如何通过周期轨道上的概率逼近 $f$ 的极大化概率有关。我们研究这个问题，并在此给出该极限 $c\to \infty, s\to 1$ 下的偏差函数 $I$ 和大偏差原理。我们将做一个假设：$\lim_{c\to \infty, s\to 1} c(1-s)= L>0$。这里我们不假设 $f$ 的极大化概率是唯一的。