具有局部常数密度的测度平均下连续函数的拓扑稳定性

令 $\mu$ 为 $[-1,1]$ 上的测度。则对每個连续函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 和 $\alpha>0$，可通过公式定义其平均 $f_{\alpha}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$：$$f_{\alpha}(x) = \int_{-1}^{1} f(x+t\alpha)d\mu.$$ 在 arXiv:1509.06064 中，作者研究了当对所有 $\alpha>0$ 有 $f_{\alpha}$ 与 $f$ 拓扑等价时的情形，并称此性质为 $f$ 在关于测度 $\mu$ 的平均下的拓扑稳定性。类似地可定义 $f$ 在某点 $x\in\mathbb{R}$ 处的芽的拓扑稳定性。已有结果表明，对于只有有限多个局部极值且任意测度 $\mu$ 的连续函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，$f$ 在局部极值处芽的平均的拓扑稳定性蕴含 $f$ 的平均的拓扑稳定性。本文我们证明逆命题： $f$ 的平均的拓扑稳定性蕴含其在局部极值处芽的平均的拓扑稳定性。此外，在 arXiv:1509.06064 中还建立了关于具有有限支撑的测度在局部极值处平均的拓扑稳定性的充分条件。本文我们获得了对于具有局部连续特别是局部常数密度的测度的类似充分条件。