紧致边界图的枚举与 Zhukovsky 变换

我们考虑紧致边界的图，即其边界在其同伦类中具有最小长度的图，并讨论其生成函数 $T^{(g)}_{\ell_1,\ldots,\ell_n}$ 的性质，其中固定为genus $g$，边界长度为 $\ell_1,\ldots,\ell_n$，并控制内脸的度。我们发现，这些级数出现在 $\omega^{(g)}_n(z_1,\ldots,z_n)$ 的展开系数中，这一基本量在 Eynard-Orantin 理论中的拓扑递归中至关重要，从而为 Zhukovsky 变换在该语境下的组合解释提供了解释。这种解释源于对任意边界的 trumpet 分解。对于平面二分图情况，我们从 Collet-Fusy 公式中得到 $T^{(0)}_{2\ell_1,\ldots,2\ell_n}$ 的完全显式公式。我们还发现 $T^{(g)}_{\ell_1,\ldots,\ell_n}$ 满足的递归关系，即添加一个额外的紧致边界，保持genus $g$不变。基于 Norbury 和 Scott 的结果，我们表明 $T^{(g)}_{\ell_1,\ldots,\ell_n}$ 等于一个与parity相关的准多项式在 $\ell_1^2,\ldots,\ell_n^2$ 上的乘积，乘以基本生成函数 $R$ 的简单幂。在此过程中，我们为 $(g,n)=(0,3)$ 的情况提供了一个双射推导，推广了我们最近的构造到非二分图情况。