三范畴中的丰富化与内化：张量范畴的情形与交错范畴的替代概念

本文源于解决以下三个问题。首先，我们希望众所周知的将双范畴嵌入伪双范畴的过程是幺半的，但如果使用通常的幺半伪双范畴概念，则并非如此。其次，在\cite{Gabi}中提出了一个问题：什么是Grandis和Paré的交错范畴的替代概念，使得Böhm的幺半范畴$(Dbl,\ot)$（严格双范畴和严格双函子，带有Gray型幺半积）中的幺半群成为其一个例子？我们得到并证明，正是$(Dbl,\ot)$的幺半结构解决了第一个问题。另一方面，为解决第二个问题，我们将范畴$Dbl$提升为一个三范畴$\DblPs$，并提出将交错范畴的替代定义视为该三范畴中的内范畴。除了$(Dbl,\ot)$中的幺半群——更重要的是，在包含$(Dbl,\ot)$作为子1-范畴的三范畴中的弱伪幺半群——大多数交错范畴的例子也是这个新概念的例子，那些依赖于拉回上乘积的松弛性的例子（如双幺半范畴）则除外。为此，我们定义了三范畴（$\DblPs$类型）中的内范畴，这同时服务于我们的第三个动机。即，受张量范畴的三范畴和$(1\times 2)$-范畴的启发，我们在温和条件下证明了，在特定类型的三范畴上丰富化的范畴可以成为其中的内范畴。我们以张量范畴相对于环境三范畴$2\x\Cat_{wk}$（2-范畴、伪函子、伪自然变换和修改）为例说明了这一现象。