物理学中对称群的扩充：实践者指南

Wigner 分类揭示了投影酉表示在量子力学中的突出作用。物理学文献常指出，通过扩充物理对称群，可将投影酉表示理论简化为普通酉表示理论。然而，扩充过程并非总是被明确描述：在哪些情况下需要扩充到通用覆盖群、中心扩张或通用覆盖群的中心扩张，这一点尚不明确。另一方面，在数学文献中，投影酉表示已被广泛研究，Bargmann 定理和 Cassinelli 定理等著名定理已得以实现。本文架起两座桥梁：我们提供了一个精确的、循序渐进的指南，用于将投影酉表示描述为扩充群的酉表示。特别关注代数障碍与拓扑障碍之间的区别。为构建上述桥梁，我们详细综述了群上同调与李群上同调之间的差异。最终，通过围绕单位元的光滑上链对李群中心扩张进行了分类。最后，核心信息是一个实用算法，它以给定量子理论的对称群作为输入，输出扩充群。该算法应用于多个物理感兴趣的案例。我们还简要概述了 Bargmann 理论向含时相位的推广，使用希尔伯特丛。