增强 RLW 方程 PINN 精度：自适应与保守方法

标准的物理信息神经网络实现在求解正规化长波 (RLW) 方程时会产生较大的误差率。本研究开发了两种改进的 PINN 方法：一种是带有自适应损失加权的自适应方法，另一种是强制显式守恒律的保守方法。使用三个基准测试演示了 PINN 在不同问题类型下（即时序 RLW 方程）的有效性。第一个测试是单色素沿直线传播（传播），第二个测试是两色素相互作用，第三个测试是在 $t=250$ 时 undular bore 的演化。结果表明，PINN 的有效性是问题特定的。对于涉及复杂非线性相互作用（如两色素碰撞）的问题，自适应 PINN 在准确度上显著优于保守 PINN 和标准 PINN。对于涉及单色素长期行为和 undular bore 问题的求解，保守方法的效果显著优于其他方法。本研究最重要的发现是，显式地强制守恒律可能对高度非线性方程组的优化产生不利影响，因此需要特殊的训练方法。我们的方法结果在误差范围内与 established 数值解相近（$O(10^{-5})$），因此表明 PINN 可以在无需空间或时间离散化（无网格）的情况下提供复杂偏微分方程组的准确解。此外，本研究的发现挑战了守恒律强制执行必然提高 PINN 性能的假设，并为针对特定问题类型设计 PINN 提供了指导。