$L^2$ 物理信息损失是否总适用于训练物理信息神经网络？

物理信息神经网络（PINN）方法是一种利用深度学习求解偏微分方程的新且有前景的途径。$L^2$ 物理信息损失是训练物理信息神经网络事实上的标准。在本文中，我们通过研究损失函数与所学解近似质量之间的关系，对这一常见做法提出质疑。具体而言，我们利用偏微分方程文献中的稳定性概念，来研究当损失趋于零时所学解的渐近行为。借助该概念，我们研究了一类最优控制中的重要高维非线性偏微分方程——Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，并证明对于一般的 $L^p$ 物理信息损失，广泛一类 HJB 方程仅当 $p$ 足够大时才稳定。因此，常用的 $L^2$ 损失并不适合在这些方程上训练 PINN，而 $L^{\infty}$ 损失是更好的选择。基于该理论见解，我们开发了一种新颖的 PINN 训练算法，以最小化 HJB 方程的 $L^{\infty}$ 损失，其精神类似于对抗训练。所提算法的有效性通过实验得到了经验验证。我们的代码发布于 https://github.com/LithiumDA/L_inf-PINN。