一种用于具有局部高强度源项问题的自适应小波物理信息神经网络

近年来，物理信息神经网络（PINNs）在求解微分方程方面获得了显著关注，尽管它们存在两个根本性局限，即神经网络固有的谱偏差和多尺度现象引起的损失不平衡。本文提出了一种自适应小波物理信息神经网络（AW-PINN），以解决具有局部高强度源项问题特有的极端损失不平衡。这类问题常出现在各种物理应用中，如热加工、电磁学、冲击力学和涉及局部强迫的流体动力学。所提出的框架基于残差和监督损失动态调整小波基函数。这种自适应特性使AW-PINN能够有效处理具有高尺度特征的问题，而无需占用大量内存。此外，AW-PINN不依赖自动微分来获取损失函数中涉及的导数，从而加速了训练过程。该方法分两个阶段运行：初始的短时预训练阶段使用固定基函数来选择物理上相关的小波族，随后进行自适应细化，调整尺度和平移，而无需在整个域上填充高分辨率基函数。理论上，我们证明在某些假设下，AW-PINN具有高斯过程极限，并推导出其相关的神经正切核（NTK）结构。我们在几个具有挑战性的偏微分方程上评估了AW-PINN，这些方程具有局部高强度源项，损失不平衡比率高达$10^{10}:1$。在这些偏微分方程中，包括瞬态热传导、高度局部化的泊松问题、振荡流方程以及带点电荷源的麦克斯韦方程，AW-PINN始终优于同类现有方法。