VW-PINNs：一种用于物理信息神经网络中 PDE 残差的体积加权方法
计算工程、金融与科学
2024-01-15 v1
摘要
物理信息神经网络在求解涉及偏微分方程的正问题和反问题中展现出了广阔的前景。该方法通过在一系列配点处计算 PDE 损失，将 PDE 嵌入神经网络中，提供了无网格和更便捷的自适应采样等优势。然而，在使用非均匀配点求解 PDE 时，PINNs 仍然面临 PDE 残差收敛低效甚至失败的问题。在本工作中，我们首先分析了非均匀配点下 PINNs 中 PDE 损失的病态问题。为了解决该问题，我们定义了体积加权残差，并提出了体积加权物理信息神经网络。通过用配点在计算域内占据的体积对 PDE 残差进行加权，我们显式地将配点的空间分布特征嵌入到残差评估中。从而保证了涉及非均匀配点的问题中 PDE 残差的快速充分收敛。考虑到 VW-PINNs 的无网格特性，我们还开发了一种基于核密度估计的体积近似算法来计算配点的体积。我们通过求解不同入流条件下圆柱绕流和 NACA0012 翼型绕流的正问题（传统 PINNs 在此失败）验证了 VW-PINNs 的普适性；通过求解 Burgers 方程，我们验证了 VW-PINNs 能将现有自适应采样方法在求解正问题时的效率提高 3 倍，并能使传统 PINNs 在求解反问题时的相对误差降低一个数量级以上。
引用
@article{arxiv.2401.06196,
title = {VW-PINNs: A volume weighting method for PDE residuals in physics-informed neural networks},
author = {Jiahao Song and Wenbo Cao and Fei Liao and Weiwei Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2401.06196},
year = {2024}
}