伴随 Wiener 过程的张紧弦能量

设 $W$ 为 Wiener 过程。在区间 $[0,T]$ 上，在所有满足 $W(t)-r \le h(t) \le W(t)+ r$ 的函数中，使能量 $\int_0^T h'(t)^2\, dt$ 最小化的函数 $h(\cdot)$ 称为张紧弦 (taut string)。这是变分法、数理统计等领域中众所周知的经典对象。我们证明，该张紧弦在大区间上的能量等价于 $C^2 T\, /\, r^2$，其中 $C$ 为某个有限正常数。虽然 $C$ 的精确值尚未知，但我们给出了其各种理论界以及相当精确的计算机模拟结果。尽管张紧弦显然依赖于 $W$ 的整个轨迹，我们也通过构造（Markov 追赶）仅基于 $W$ 过去值的随机函数来考虑该问题的自适应版本，该函数具有最小渐近能量。令人惊讶的是，该解（最优追赶策略）与有界区间上 Fisher 信息的经典最小化问题相关。