树补图上的直角Artin群的可嵌入性

对于有限单纯图 $\Gamma$，令 $A(\Gamma)$ 表示 $\Gamma$ 上的直角 Artin 群。最近 Kim 和 Koberda 引入了 $\Gamma$ 的扩张图 $\Gamma^e$，并建立了扩张图定理：对于有限单纯图 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$，若 $\Gamma_1$ 作为诱导子图嵌入到 $\Gamma_2^e$ 中，则 $A(\Gamma_1)$ 嵌入到 $A(\Gamma_2)$ 中。本文中我们证明该定理的逆命题在 $\Gamma_1$ 为树的补图以及 $\Gamma_2$ 为路径图的补图的情况下不成立。