柔性多面体理论中寄生解的消除

三维欧几里得空间 $\mathbf{R}^3$ 中 $n$ 点系统的旋转群 $SO(3)$ 的作用自然地诱导出 $SO(3)$ 在 $\mathbf{R}^{3n}$ 上的作用。在本文中，我们考虑如下问题：是否存在 $\mathbf{R}^{3n}$ 上的 $3$ 个多项式函数 $f_1$、$f_2$、$f_3$，使得 $f_1$、$f_2$ 和 $f_3$ 的公共零点集与 $SO(3)$ 在 $R^{3n}$ 中每个轨道的交非空且有限？当人们对给定 $n$ 点集的相对运动感兴趣时，即当想要排除点系统作为刚体的局部运动时，会产生此类问题。一个例子是判定给定多面体是否非平凡柔性。我们证明这样的函数确实存在。为得到所需的方程组 $f_1=0$、$f_2=0$、$f_3=0$，我们展示了如何通过选取 $\mathbf{CP}^{n-1}$ 中不含二次曲线、不含直线且不含实点的超曲面，进而找到这样的方程组。