势渐近为 -2 次齐次的薛定谔算子的特征值

我们加强并推广了 Kirsch 和 Simon 关于函数 $N_L(E)$（即 $\R^d$ 中算子 $L = \Delta+V$ 在 $-E$ 以下的束缚态个数）行为的结果。这里 $V$ 是一个有界势，渐近地表现为 $P(\omega)r^{-2}$，其中 $P$ 是球面上的一个函数。众所周知，此类算子的特征值均非正，且只在 0 处聚积。如果球面上的算子 $\Delta_{S^{d-1}}+P$ 有小于 $-(d-2)^2/4$ 的负特征值 $-\mu_1,...,-\mu_n$，我们证明 $N_L(E)$ 可估计为 $$N_L(E)) = \frac{\log(E^{-1})}{2\pi}\sum_{i=1}^n \sqrt{\mu_i-(d-2)^2/4} +O(1);$$ 因此，特别地，若不存在这样的负特征值，则 $L$ 具有有限离散谱。此外，在一些附加假设下（包括 $d=3$ 且恰有一个小于 -1/4 的特征值 $-\mu_1$，而所有其他特征值 $> -1/4$），我们证明负谱渐近于一个公比为 $\exp(-2\pi/\sqrt{\mu_1 - \qtr})$ 的几何级数。