非厄米矩阵值布朗运动的特征值、特征向量重叠与正则化 Fuglede-Kadison 行列式
概率论
2026-04-07 v4 统计力学
数学物理
math.MP
摘要
非厄米矩阵值布朗运动是一种随机矩阵的随机过程，其矩阵元由独立的复布朗运动给出。在右特征向量过程与左特征向量过程之间施加双正交关系，这使得它们可在特征值过程不变下进行尺度变换。特征向量重叠过程是一个矩阵值厄米过程，其每个元素由右特征向量重叠与左特征向量重叠的乘积给出。我们推导了特征值过程与特征向量重叠过程耦合系统的一组随机微分方程（SDEs），并证明了所得 SDE 系统的尺度变换不变性。通过引入一个辅助复变量，对与该矩阵值过程相关的 Fuglede–Kadison（FK）行列式进行正则化。该变量是给出由正则化 FK 行列式定义的时间相关随机场及其平方与对数变分所对应的随机偏微分方程（SPDEs）所必需的。由特征向量重叠过程对角元加权的特征值时间相关点过程及其变分，与对数正则化 FK 行列式随机场的导数相关。我们还讨论了通过对 SPDEs 取平均所得到的偏微分方程（PDEs）。
引用
@article{arxiv.2306.00300,
title = {Eigenvalues, eigenvector-overlaps, and regularized Fuglede-Kadison determinant of the non-Hermitian matrix-valued Brownian motion},
author = {Syota Esaki and Makoto Katori and Satoshi Yabuoku},
journal= {arXiv preprint arXiv:2306.00300},
year = {2026}
}
备注
v4: LaTeX, 39 pages, no figure, minor corrections and additions were made