高效抽样不规则但有线性界的两分与有向度序列的实现

自 1997 年以来，人们在图论度序列上的交换（切换）马尔可夫链研究上投入了大量努力。已有若干关于正则简单、正则有向、半正则有向和半正则二分度序列上快速混合马尔可夫链的结果被证明。本文的主要结果如下：设 $U$ 和 $V$ 为不相交有限集，并设 $0 < c_1 \le c_2 < |U|$ 与 $0 < d_1 \le d_2 < |V|$ 为整数。进一步，假设 $U \cup V$ 上的二分度序列满足 $c_1 \le d(v) \le c_2\ : \ \forall v\in V$ 且 $d_1 \le d(u) \le d_2 \ : \ \forall u\in U$。最后假设 $(c_2-c_1 -1)(d_2 -d_1 -1) < 1 + \max \{c_1(|V| -d_2), d_1(|V|- c_2) \}$。则该二分度序列上的交换马尔可夫链是快速混合的。该技术亦适用于有向度序列，且参数值非常相似。这些结果与 Greenhill 和 Sfragara 近期关于简单与有向度序列上快速混合 MCMC 过程的结论密切相关，其中最大度为 $O(\sqrt{\# \mbox{ of edges}})$。在有向度序列上结果有一定可比性：GS 结果更适用于在某些无标度随机过程下生成的度序列，而我们的新结果更契合在 Erd\H{o}s -- R\'enyi 模型下生成的度序列。例如我们的结果覆盖所有正则度序列，而 GS 模型在平均度 $> n/16$ 时不适用。