第一 Chebyshev 函数上 de la Valle Poussin 型有效界

1898 年，Charles Jean de la Valle Poussin 在其著名的素数定理证明中，给出了第一 Chebyshev 函数的如下非有效界：$$|\theta(x)-x| = \mathcal{O}\left(x \exp(-K \sqrt{\ln x})\right).$$ 该界对充分大的 $x$ 成立，即 $x\geq x_0$，且 $K$ 为某个未指定的正常数。据我所知，该界从未被有效化——我从未见过将此界完全显式化，并给出 $x_0$ 和 $K$ 的精确值。本文中，利用过去 50 年建立的若干有效结果，我将给出此类非常简单的显式完全有效界：$$|\theta(x)-x| < \; {x} \;\exp\left( - {1\over4} \sqrt{\ln x}\right); \qquad (x\geq 2).$$ $$|\theta(x)-x| < \; {x} \;\exp\left( - {1\over3} \sqrt{\ln x}\right); \qquad (x\geq 3).$$ 沿此思路还可轻易给出许多其他完全显式界。例如可在严格性与有效范围之间权衡：$$|\theta(x)-x| < \; {1\over 2} \; {x} \;\exp\left( - {1\over4} \sqrt{\ln x}\right); \qquad (x\geq 29),$$ $$|\theta(x)-x| < \; {1\over 2} \; {x} \;\exp\left( - {1\over3} \sqrt{\ln x}\right); \qquad (x\geq 41).$$ 事后看来，其中某些有效界几乎在 50 年前便可确立。