素数间隙的有效指数界

在过去 50 年中，人们获得了大量关于第一类切比雪夫函数 $\vartheta(x)$ 的有效指数界。具体而言，我们关注形如 $$|\vartheta(x)-x| < a \;x \;(\ln x)^b \; \exp\left(-c\; \sqrt{\ln x}\right); \qquad (x \geq x_0).$$ 的有效指数界。本文中，我们将这些关于 $\vartheta(x)$ 的有效界转化为关于素数间隙 $g_n = p_{n+1}-p_n$ 的有效指数界。具体而言，我们将建立若干形如 $${g_n\over p_n} < { 2a \;(\ln p_n)^b \; \exp\left(-c\; \sqrt{\ln p_n}\right) \over 1- a \;(\ln p_n)^b \; \exp\left(-c\; \sqrt{\ln p_n}\right)}; \qquad (x \geq x_*);$$ 与 $${g_n\over p_n} < 3a \;(\ln p_n)^b \; \exp\left(-c\; \sqrt{\ln p_n}\right); \qquad (x \geq x_*);$$ 的有效指数界，其中 $x_*$ 为可有效计算的值。正是该指数因子在界中的显式出现，连同已知的系数与已知的适用区间，使得这些界尤为有趣。