通过切格尔不等式实现经济的环面脊

设 $G_{\infty}=(C_m^d)_{\infty}$ 表示顶点集为 $\{1,..., m\}^d$ 的图，其中两个不同顶点相邻当且仅当它们在每个坐标上要么相等，要么在 $C_m$ 中相邻。设 $G_{1}=(C_m^d)_1$ 表示同一顶点集上的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们在 $C_m$ 的一个坐标上相邻，而在所有其他坐标上相等。这两个图都可以视为 $d$ 维环面的图。我们证明，可以删除 $G_1$ 的 $O(\sqrt d m^{d-1})$ 个顶点，使得没有拓扑非平凡环留下。这改进了 Bollobás、Kindler、Leader 和 O'Donnell 的 $O(d^{\log_2 (3/2)}m^{d-1})$ 估计。我们还给出了 Raz 近期论文中隐含结果的一个简短证明：可以删除 $G_{\infty}$ 中 $O(\sqrt d/m)$ 比例的边，使得该图中没有拓扑非平凡环留下。我们的技术还给出了 Kindler、O'Donnell、Rao 和 Wigderson 近期结果的一个简短证明；存在连续 $d$ 维环面的一个子集，其表面积为 $O(\sqrt d)$，并与所有非平凡环相交。所有证明都基于同一个一般思想：考虑一个具有小边界且无非平凡环的体的随机平移，该体的存在性通过应用切格尔等周不等式或其顶点或边离散类比来证明。