带距离约束两端点图的最可靠性存在性研究

两端点图是一种简单图，包含两个被称为终点的特istinguished 顶点。设 $T_{n,m}$ 为所有非同构两端点图（具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边）的类。设 $G$ 为 $T_{n,m}$ 中的任意两端点图，$d$ 为任意正整数。对于每个 $\rho\in [0,1]$，$G$ 在 $\rho$ 下的 $d$ 约束两端点可靠性记作 $R_G^d(\rho)$，其为删除 $G$ 的每条边的概率为 $\rho$ 时，$G$ 存在一条长度不超过 $d$ 的路径连接其终点的概率。若对 $T_{n,m}$ 中的每个 $H$ 及每个 $\rho \in [0,1]$ 都有 $R_{G}^d(\rho)\geq R_H^d(\rho)$，则称 $G$ 为 $d$ 均匀最可靠两端点图（$d$-UMRTTG）。先前研究在 $d$ 大于等于 $n-1$ 时（即距离约束被取消）研究 $d$-UMRTTG 的存在性。本文给出所有 $1$-UMRTTGs 和 $2$-UMRTTGs 的分类。随后证明当 $n\geq 6$ 且 $5 \leq m \leq 2n-3$ 时，$T_{n,m}$ 中存在唯一的 $3$-UMRTTG。最后，对于每个 $d\geq 4$ 及每个 $n\geq 11$，证明当 $20 \leq m \leq 3n-9$ 或 $3n-5 \leq m \leq \binom{n}{2}-2$ 时，$T_{n,m}$ 中不存在 $d$-UMRTTG。