局部最可靠双端口图的存在性、唯一性与构造
组合数学
2025-09-23 v1
摘要
双端口图是一种在顶点集 V(G) 中拥有两个顶点且称为端口的图 G。设 T(n,m) 为具有 n 个顶点和 m 条边的双端口图的集合。设 G 属于 T(n,m)，且 p 属于 [0,1]。双端口可靠性以 R_G(p) 表示，是指在每条边独立以概率 1-p 被移除后，G 连接其端口的概率。若对 T(n,m) 中的每个 H，都存在一个正实数 delta，使得在每个 p 属于 (0, delta) 时都有 R_G(p) >= R_H(p)，则称 G 为局部最可靠双端口图 (LMRTTG)。可以简单地证明，当 n >= 4 且 5 <= m <= 2n-3 时，T(n,m) 中存在唯一的 LMRTTG。Gong 和 Lin 进一步证明，当 n >= 6 且 2n-3 <= m <= n(n-1)/2 时，T(n,m) 中也存在唯一的 LMRTTG，除非存在一些整数对 n 和 m 满足 n >= 6 且 (1/2)(n-2)(n-3) - (n-2)/2 <= m - (2n-3) <= (1/2)(n-2)(n-3) + (n-2)/2。本文证明，在每个满足 n >= 4 且 5 <= m <= n(n-1)/2 的集合 T(n,m) 中，都存在唯一的 LMRTTG，称为 G(n,m)。同时给出了 G(n,m) 的构造方法。
引用
@article{arxiv.2509.16514,
title = {Existence, uniqueness and construction of locally most reliable two-terminal graphs},
author = {Pablo Romero},
journal= {arXiv preprint arXiv:2509.16514},
year = {2025}
}
备注
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