直径约束可靠性：关于直径与终端节点数的计算复杂度

设 $G=(V,E)$ 为一个简单图，其中 $|V|=n$ 个节点和 $|E|=m$ 条链路，$K \subseteq V$ 为\emph{终端}子集，$p=(p_1,\ldots,p_m) \in [0,1]^m$ 为向量，$d$ 为一个称为\emph{直径}的正整数。我们假设节点是完美的，但链路以概率 $q_i=1-p_i$ 随机且独立地失效。\emph{直径约束可靠性}（简称 DCR）是指所得子图的终端仍由长度不超过 $d$ 条链路的路径连接的概率。该数值记为 $R_{K,G}^{d}(p)$。一般 DCR 计算属于 $\mathcal{N}\mathcal{P}$-Hard 问题类，因为它涵盖了随机图连通性的复杂度。本文讨论了 DCR 子问题在终端节点数 $k=|K|$ 和直径 $d$ 方面的计算复杂度。当 $d=1$ 或 $d=2$ 且 $k$ 固定时，DCR 属于多项式时间问题类 $\mathcal{P}$。当 $k \geq 2$ 为固定输入参数且 $d\geq 3$ 时，DCR 变为 $\mathcal{N}\mathcal{P}$-Hard。此前文献未研究 $k=n$ 且 $d \geq 2$ 固定的情形。本文确立了该情形的 $\mathcal{N}\mathcal{P}$-Hardness。