图的离心率与代数连通性

设 $G$ 为具有 $n$ 个节点且代数连通性为 $\lambda_{2}$ 的图。节点的离心率定义为从该节点出发的最长最短路径的长度。若 $s_\ell$ 表示离心率至多为 $\ell$ 的节点数，则对于 $\ell \ge 2$，$$\lambda_{2} \ge \frac{ 4 \, s_\ell }{ (\ell-2+\frac{4}{n}) \, n^2 }.$$ 作为推论，若 $d$ 表示 $G$ 的直径，则 $$\lambda_{2} \ge \frac{ 4 }{ (d-2+\frac{4}{n}) \, n }.$$ 此外还证明了 $$\lambda_{2} \ge \frac{ s_\ell }{ 1+ \ell \left(e(G^{\ell})-m\right) },$$ 其中 $m$ 和 $e(G^\ell)$ 分别表示 $G$ 和 $G$ 的 $\ell$ 次幂中的边数。