最优优先路径的动态最优输运

我们研究了一个由两部分组成的域上的动态最优输运类型问题：紧凑集 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$（主体）和非相交且足够光滑的曲线 $\Gamma \subset \Omega$。在这两者上，都考虑了基于 Benamou-Brenier 类型的动态最优输运问题，但附加了一种允许在主体和曲线之间进行交换（以一定成本）的机制。在各自的作用中，我们还允许非线性的 mobility。首先通过依赖于微分学直接方法来确保最小化者的存在，并研究在改变调节 $\Omega$ 和 $\Gamma$ 动力学参数的情况下，最小化者的渐近性质。随后，我们研究曲线 $\Gamma$ 也被允许变化的情况，这是本文的主要兴趣。为此，添加了 Tangent-Point 能量到作用函数中，以保持曲线的规律性质并防止自交。在这种情况下，通过对时间依赖测度和曲线 $\Gamma$ 适当的紧凑估计，证明了优化器的存在。我们通过基于原始-对偶方法的数值模拟扩展了这些分析结果，这些模拟说明了固定曲线和变化曲线下的 geodesic 的行为。