TD-Delaunay 复形的 Dushnik-Miller 维数

TD-Delaunay 图（其中 TD 代表三角距离）是由特定凸距离函数导出的经典 Delaunay 三角剖分的一种变体。Bonichon 等人注意到，每个三角剖分都是 $\mathbb{R}^2$ 中某点集的 TD-Delaunay 图，反之，每个 TD-Delaunay 图都是平面的。研究该性质在高维中的推广是很自然的。通过为 $\mathbb{R}^d$ 定义三角距离的类似物，可以得到这种推广。容易看出，$\mathbb{R}^{d-1}$ 的 TD-Delaunay 复形的 Dushnik-Miller 维数为 $d$。该逆命题在 $d=2$ 或 $3$ 时成立，Mary 和 Evans 等人曾独立猜想其对更大的 $d$ 也成立。在此我们证明该猜想对于 $d = 4$ 即不成立。