对偶退化簇与 Griffiths--Harris 定理的推广

射影空间 $P^N$ 中光滑 $n$ 维簇 $X$ 的对偶簇 $X^*$ 是 $X$ 的切超平面的集合。在一般情形下,簇 $X^*$ 是对偶空间 $(P^N)^*$ 中的超曲面。若 $\dim X^* < N - 1$,则称簇 $X$ 为对偶退化的。作者针对具有秩为 $r$ 的退化高斯映射的簇 $X \subset P^N$ 改进了这些定义。对于这样的簇,在一般情形下,其对偶簇 $X^*$ 的维数为 $N - l - 1$,其中 $l = n - r$,且当 $\dim X^* < N - l - 1$ 时 $X$ 是对偶退化的。1979 年 Griffiths 与 Harris 证明了 $X \subset P^N$ 中的光滑簇 $X$ 是对偶退化的当且仅当其所有第二基本形式都是奇异的。作者将这一定理推广到具有秩为 $r$ 的退化高斯映射的簇 $X \subset P^N$。