Bar-Natan--Russell skein 模的对偶化与变形（博士论文）

本论文研究实心环面在特定边界曲线系统中的 Bar-Natan skein 模，特别是 Russell 给出的一种图示表示。该模与拓扑和范畴化有深刻联系：它同构于 $(n,n)$-Springer 簇的总同调，以及 Khovanov 弧环 $H^n$ 的第 0 层 Hochschild 同调。我们也可以从表示论视角将 Bar-Natan--Russell skein 模视为 Frenkel--Khovanov 对基本 $U_q(sl_2)$-表示的第 n 张量幂的 Lusztig 对偶典范基的图形描述的推广。我们的主要结果之一是利用 Jones--Wenzl 投影子将 Khovanov 的对偶化构造从 Lusztig 基扩展到 Russell 基。我们还构造并探索了 Russell skein 模的几种变形。一种变形是量子变形，源于将该模嵌入满足 Kauffman--Lins 图示关系的空间中。我们的量子版本在 $q$ 特化为 -1 时恢复原始 Russell 空间，并携带自然的辫群作用，该作用恢复 Russell 与 Tymoczko 的对称群作用。我们还提出一种等变变形，其用二维球面在 $U(2)$ 标准作用下的等变同调替换构造环 $H^n$ 时使用的 TQFT 代数 A，并取所得变形弧环的第 0 层 Hochschild 同调。我们证明该等变变形具有期望的秩。最后，我们考虑来自链圈范畴的 Khovanov 二函子 F。我们证明它诱导了从平面 $(2m,2n)$-链圈的余边空间到 $(H^m, H^n)$-双模同态空间的一个满射，并给出了核的显式描述。我们利用该结果引入了 Russell skein 模的一个新商。