双仿射联结、勒让德变换与黑洞热力学

几何方法正变得越来越重要，以理解热力学和信息论。特别是双仿射（Hessian）几何提供了一种强大的概念统一方法，通过将勒让德变换重新诠释为在内禀势严格凸的流形上的坐标变换。这一视角透显了关键热力学关系的数学基础，如内能U(S,V)与其他势（如希尔伯特自由能或吉布斯自由能）之间的映射，联系到了更广泛的信息几何框架，其中双坐标系统自然出现。本文提出了双仿射联结 $(\nabla, \nabla^*)$ 如何从单个凸势产生且通过勒让德变换直接相关的简明处理。这强化了其物理意义及其几何解释。我们随后探讨了由Hessian度量的三次形式构建的能量间隙积分，这衡量了系统偏离 Levi-Civita 联结（自双仿射联结）的程度，并讨论了量子尺度效应可能使该间隙在普朗克长度以下趋于无穷的可能性。最后，我们将这些概念应用于黑洞热力学，展示如何将量子或测量不确定性（T,S,F,U）纳入Hessian框架并通过稳定黑洞情景中的Hawking辐射进行解释。这种统一视角凸显了从经典黎曼几何向双仿射热力学的自然延伸，对量子引力和先进热力学建模潜在产生深远影响。