代数超曲面的加倍覆盖

复 $n$ 维流形 $Y$ 的一个加倍覆盖 $\U$ 由解析函数 $\psi_j:B_1\to Y$ 组成，每个函数作为到 $Y$ 的映射可解析延拓到四倍大的同心球 $B_4$。本文的主要结果给出了流形 $Y$ 的加倍覆盖中图表最小数量 $\kappa({\U})$ 的上界，其中 $Y$ 是非奇异水平超曲面 $Y=\{P=c\}$ 的紧致部分，$P$ 是 $\C^n$ 上具有非退化临界点的多项式。我们证明 $\kappa({\U})$ 的量级为 $\log({1}/{\rho})$，其中 $\rho$ 是 $Y$ 到 $P$ 的奇异集的距离。我们的主要动机是，加倍覆盖构成了“光滑参数化”的一类特殊情形，这类参数化一方面用于界定光滑动力系统中的熵型不变量，另一方面用于界定丢番图几何中有理点的密度。光滑参数化的复杂度是两个领域中一些重要开放问题的关键。我们还给出了加倍覆盖与 $Y$ 上解析函数 $f$ 的加倍不等式之间的联系，后者比较 $Y$ 中紧域对 $\Omega\subset G$ 上 $|f|$ 的最大值。我们简要指出了与 Kobayashi metric 和 Harnack inequality 的联系。