无稠密 Steklov 节点集的域

本文关注二维域 $\Omega$ 中 Steklov 特征值问题 $$-\Delta \phi_{\sigma_j}=0,\quad\text{ 在 }\Omega\text{ 上},\qquad\qquad \partial_\nu \phi_{\sigma_j}=\sigma_j \phi_{\sigma_j}\quad \text{ 在 }\partial\Omega\text{ 上}$$ 的特征函数节点集的渐近几何特征。具体而言,本文给出了一族稠密的、具有解析边界的单连通二维域 $\mathcal{A}$,使得对每个 $\Omega\in \mathcal{A}$,特征函数 $\phi_{\sigma_j}$ 的节点集“在尺度 $\sigma_j^{-1}$ 下不稠密”。该结果回应了 Girouard 与 Polterovich 在 J. Spectr. Theory, 321-359 (2017) 中“开放问题 10”所提出的一个问题。事实上,本文的结果表明,对于 $\Omega\in \mathcal{A}$ 的域,与特征值 $\sigma_j$ 相关联的特征函数 $\phi_{\sigma_j}$ 的节点集具有与预期截然不同的特征:它们在任何收缩尺度下都不稠密。更精确地,对每个 $\Omega\in \mathcal{A}$,存在某个值 $r_1>0$,使得对每个 $j$ 都存在 $x_j\in \Omega$,满足 $\phi_{\sigma_j}$ 在围绕 $x_j$ 半径为 $r_1$ 的球内不取零值。