平面图 Steklov 本征值的问题及其扩展

Steklov 本征值问题于百年前提出，离散形式近期引起广泛关注。设 $D$ 和 $\delta \Omega$ 分别为图 $\mathcal{G}$ 中最大顶点度和度为 1 的顶点集合。记 $\lambda_2$ 为 $(\mathcal{G}, \delta \Omega)$ 的第一个（非平凡）Steklov 本征值。本文利用圆 packing 定理和共形映射，首先证明 $\lambda_2 \leq 8D / |\delta \Omega|$，可视为度数为 0 的紧致边界曲面的离散等价形式，即 $\lambda_2 < 8\pi / |\partial \Omega|$。设 $B$ 和 $L$ 分别为块图 $\mathcal{G}$ 的最大块大小和直径。其次，我们证明 $\lambda_2 \leq 4 (B-1) (D-1)/ |\delta \Omega|$ 且 $\lambda_2 \leq B/L$，扩展了 He 和 Hua 关于树的相关结果。最后，在最大度数和叶子数固定的树中，给出实现最大第一个 Steklov 本征值的候选者。