多项式增长 Cayley 图子图的 Steklov 特征值上界

我们研究多项式增长 Cayley 图 $\Gamma$ 的带边子图 $(\Omega,B)$ 上的 Steklov 问题。我们证明，对每个 $k \in \mathbb{N}$，第 $k$ 个特征值以正比于 $1/|B|^{\frac{1}{d-1}}$ 的方式趋于 $0$，其中 $d$ 表示 $\Gamma$ 的增长率。该方法在于将流形 $M$ 关联到 $\Gamma$，并将有界域 $N \subset M$ 关联到 $\Gamma$ 的子图 $(\Omega, B)$。我们求出 $N$ 的 Steklov 谱的上界，并通过离散化 $N$ 及使用比较定理将这些上界转移到 $(\Omega, B)$。