Ford 模型的樱桃与干草叉分布

我们研究 Ford 的 $\alpha$ 模型的两个边缘子树计数统计量：樱桃数与干草叉数。该模型是随机系统发育树模型的一参数族，包含系统发育学中常用的均匀模型与 Yule 模型。基于允许替换矩阵含负项的非均匀扩展 Pólya urn 模型，我们得到 Ford 模型下这两个计数统计量联合分布的强大数定律与中心极限定理。此外，我们导出计算这两个统计量精确联合分布的递推公式。这给出其均值的精确公式及二阶矩的高阶渐近展开，使我们能识别这两个统计量间相关性的临界参数值。即，当 $n$ 足够大时，对 $0\le \alpha \le 1/2$ 它们负相关，对 $1/2<\alpha<1$ 正相关。