两种进化模型下的联合子树分布

在种群与进化生物学中，关于微进化和宏进化过程的假设通常通过比较经验进化树的形状指数与中性模型所预测的指数来检验。该方法的一个关键要素是能够计算并量化感兴趣随机模型下各种树形状指数的分布。作为应对这一挑战的一步，本文研究了两种广泛使用的零模型下樱桃和干草叉（即具有两片和三片叶子的子树）的联合分布：Yule-Harding-Kingman (YHK) 模型和正比于可区分排列 (PDA) 模型。基于两个新颖的递归公式，我们提出了一种动态方法，用于数值计算任意大小树的精确联合分布（以及相应的边际分布）。我们还获得了这两种模型下所生成树的统计性质见解，包括YHK模型下樱桃与干草叉分布间的恒定相关性，以及两种模型下樱桃分布的对数凹性和单峰性。特别地，我们证明了两种模型间樱桃分布存在唯一的变点，即对于每个 $n\geq 4$ 存在一个临界值 $\tau_n$，使得在YHK模型下生成的具有 $n$ 片叶子的随机树包含 $k$ 个樱桃的概率，若 $1<k< \tau_n$ 则低于PDA模型下的概率，若 $\tau_n<k\le n/2$ 则更高。