Yule 树中外枝长度的分布

Yule 分支过程是群体遗传学中基因树拓扑随机生成的经典模型。它生成具有有限数量 $n$ 个叶的二叉秩树——也称为“历史”。我们研究大小为 $n$ 的 Yule 生成随机历史中外枝的长度 $\ell_1 > \ell_2 > ... > \ell_k > ...$，其中外枝的长度定义为其父节点的秩。当 $n \rightarrow \infty$ 时，我们证明随机变量 $\ell_k$ 经 $\frac{n-\ell_k}{\sqrt{n/2}}$ 重标度后，服从自由度为 $2k$ 的 $\chi$ 分布，其均值 $\mathbb E(\ell_k) \sim n$，方差 $\mathbb V(\ell_k) \sim n \big(k-\frac{\pi k^2}{16^k} \binom{2k}{k}^2\big)$。我们的结果有助于研究 Yule 生成基因树的组合特征，其中外枝与影响单个基因拷贝的单例突变相关联。