通过型 I 规范弧着色区分对称二向igraph

由简单图 $G$ 通过将每个边 $uv$ 替换为一对相对弧 $\vec{uv}$, $\overrightarrow{vu}$ 得到的对称二向igraph $\overleftrightarrow{G}$。二向igraph $\overleftrightarrow{G}$ 的一个弧着色 $c$ 若满足：保持着色 $c$ 的 $\overleftrightarrow{G}$ 唯一自同构是恒等映射，则称该着色为区分着色。Behzad 引入了型 I 规范弧着色：即任意两条连续弧 $\overrightarrow{uv}$, $\overrightarrow{vw}$ 的颜色互不相同。我们证明了对于连通的对称二向igraph $\overleftrightarrow{G}$，型 I 区分规范弧着色所需最少颜色数的 optimal upper bound 为 $\lceil 2\sqrt{\Delta(G)}\rceil$。此外，我们证明了相同的 upper bound $\lceil 2\sqrt{\Delta(G)}\rceil$ 同样适用于 $\overleftrightarrow{G}$ 的另一类规范着色，即仅禁止单色 2 路径。