不同体积子集

设 $a$ 和 $d$ 为正整数且 $a \geq 2$。令 $h_{a,d}(n)$ 为满足以下条件的最大整数 $t$：$\mathbb{R}^d$ 中的任意 $n$ 点集均包含一个 $t$ 点子集，使得该子集中所有阶数为 $a$ 的 ${t \choose a}$ 个子集的非零体积互不相同。自 1957 年 Erd\H{o}s 以来，函数 $h_{2,d}(n)$ 得到了深入研究，已知其至少为 $n$ 的幂次。我们改进了 $h_{2,d}(n)$ 的最佳已知界，并证明对于所有 $a$ 和 $d$，$h_{a,d}(n)$ 至少为 $n$ 的幂次。