基于集合幂的码中的区间并集

我们证明，对于每个整数 $d \ge 2$，存在 $[n]^d$ 的一个稠密子集族，使得其中任意两个子集的对称差都不能表示为至多 $\lfloor d/2 \rfloor$ 个区间的并集的 $d$ 次幂。这为 Alon 在 2023 年提出的一个问题以及 Gowers 在 2009 年提出的一个猜想的合理强化提供了限制，并探讨了与 Conlon、Kam\v{c}ev、Leader、R"aty 和 Spiegel 近期关于 Hales-Jewett 定理中区间的工作类似的方向。